Від Евклідової геометрії до геометрії Лобачевского.

Геометрія була розвинута в багатьох країнах Стародавнього світу: Індії, Китаї, Єгипті. В Єгипті здавна були відомі досить складні формули геометрії – для обчислення площ фігур, об’єму пірамід, число пі з точністю до 0,02, але тільки як набір догм, які потрібно запам’ятати. Зробивши виразне креслення для площі круга, вчений писав під ним „Дивись!” це і було доведення.

Видатний давньогрецький математик Евклід (ІІІ ст. до н.е.) привів у систему величезний матеріал, накопичений до нього іншими математиками. Основна праця Евкліда „Начала” не має рівних в історії науки. Ця книга переписувалась, видавалась 2200 років. За нею вивчав геометрію цілий світ. Велике історичне значення „Начал” полягає в тому, що вони були першим науковим твором, в якому зроблено спробу дати аксіоматичну побудову геометрії. Вихідні положення у Евкліда двох видів: аксіоми та постулати. Постулат – це істина, яку слід прийняти, починаючи вивчення геометрії, а далі все було строго доведено.
Постулати формулюються так:
1. Щоб від кожної точки можна було провести лінію до точки.
2. І щоб обмежену пряму можна було неперервно продовжувати по прямій.
3. І щоб навколо будь-якого центра на будь-якій відстані можна було провести коло.
4. І щоб всі прямі кути дорівнювали один одному.
5. І кожного разу, якщо пряма, яка перетинає дві прямі, утворює з ними внутрішні односторонні кути, що становлять менше двох прямих, щоб ці прямі при необмеженому продовжені перетнулись з того боку, з якого ці кути утворюють менше двох прямих.
Як бачимо п’ятий постулат найскладніший у формулюванні. І багато вчених намагались довести його. За 2000 років не було такого визначного математика, який би не спробував це зробити. Але кожного разу в доведенні траплялась помилка. Геніальність Евкліда полягає в тому, що в його праці це постулат. З’явилось багато теорем, рівносильних п’ятому постулату, наприклад: „У площині через точку А проходить єдина пряма паралельна прямій а”.
Пізніше п’ятий постулат замінили протилежним твердженням: через точку поза прямою проходить більше ніж одна пряма, що не перетинає дану. Але очікуваної суперечності не виходило. І ось у двадцятих роках ХІХ ст. в математичних колах з’явилась революційна думка – ніякої суперечності і не повинно бути. Якщо замінити п’ятий постулат протилежним твердженням, отримаємо нову геометрію, яка логічно не поступається евклідовій. До такою думки прийшли К.Ф. Гаусс, Я. Больяї та М.І.Лобачевський. І лише останній опублікував свої праці з неевклідової геометрії. У лютому 1862 р. Лобачевский зробив на зборах факультету Казанського університету доповідь. Аксіома Лобочевського звучить так: у площині через точку А проходить більш ніж одна пряма, яка не перетинає пряму а. Необхідно було довести, що ця аксіома Лобочевського не суперечить решті аксіом. Потрібна була модель, учений це добре розумів і пробував її побудувати, але за життя зробити цього не встиг. Побудову такої моделі здійснили вчені Ф.Клейн, Е.Бельтрамі та А.Пуанкаре. Ось перед вами модель італійця Бельтрамі. Він довів, що геометрія Лобачевского, хоч і частково виконується на увігнутій поверхні, яку назвав псевдосферою.